Курс «Механика управляемых систем»

Годовой курс «Механика управляемых систем» - общий для студентов 4 курса отделения механики. Он был создан Я.Н. Ройтенбергом и впоследствии модифицирован В.В. Александровым и Н.А. Парусниковым. Предмет курса - современные методы анализа и синтеза управления движением механических систем. По курсу проводятся семинарские занятия.

Александров В.В., Лемак С.С., Парусников Н.А. Лекции по механике управляемых систем. Издание 2020 года.

Лемак С.С., Морозов В.М., Попеленский М.Ю., Тихомиров В.В., Черкасов О.Ю. Механика управляемых систем (сборник задач). Издание 2012 года.

Александров В.В., Бугров Д.И., Тихонова К.В. Задачи о детерминированном и хаотическом переходах в бистабильных системах на плоскости. Часть I. Детерминированный переход в бистабильной системе. Компьютерный практикум (учебное пособие). Издание 2017 года.

Список вопросов к экзамену по курсу "Механика управляемых систем".

Программа курса «Механика управляемых систем»

1-й семестр

1. Математическая модель управляемой системы. Программное управление и управление с обратной связью. Соответствие математической и физической моделей.
2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Критерий Гурвица (без доказательства). Запас устойчивости.
3. Управляемость. Критерий управляемости для стационарных управляемых систем.
4. Наблюдаемость. Критерий наблюдаемости стационарных систем.
5. Теорема о стабилизации вполне управляемой системы с известным вектором состояния при помощи обратных связей.
6. Асимптотически устойчивый алгоритм оценивания во вполне наблюдаемой стационарной линейной системе.
7. Стабилизация по оценке и асимптотическая устойчивость замкнутой системы.
8. Декомпозиция по управлению. Инвариантные управляемые подпространства.
9. Декомпозиция по наблюдению. Инвариантные ненаблюдаемые подпространства.
10. Стабилизация стационарной не вполне управляемой и не вполне наблюдаемой системы.
11. Понятие корреляции. Матрица ковариации. Многомерный нормальный закон распределения.
12. Решение переопределенных систем линейных алгебраических уравнений. Вероятностная интерпретация метода наименьших квадратов.
13. Задача построения оценки x по известным µ_x, µ_z, P_xx, P_xz, P_zz и измерению z. Минимум дисперсии и критерий ортогональности. Интерпретация оценки как условного среднего.
14. Процесс с ортогональными приращениями. Понятие белого шума.
15. Стохастические модели непрерывных и дискретных динамических систем. Дисперсионные уравнения.
16. Дискретный фильтр Калмана.
17. Непрерывный фильтр Калмана.
18. Условия устойчивости фильтра Калмана. Стационарный фильтр Калмана при бесконечном времени наблюдения.
19. Применение теории наблюдаемости и оценивания к задаче инерциальной навигации. Коррекция ИНС при помощи информации доставляемой спутниковыми навигационными  системами.

2-й семестр

20. Формулировка принципа максимума Понтрягина для оптимизации прихода на многообразие.
21. Формула приращения функционала в задаче оптимизации с фиксированным временем.
22. Классическая вариация и необходимое условие слабого локального минимума.
23. Задача Больца в вариационном исчислении, уравнения Эйлера.  Лагранжева форма условий оптимальности ПМП.  Связь с вариационными принципами механики.
24. Оптимальная стабилизация линейных систем при неограниченных ресурсах управления. Оценка сверху для решений системы.
25. Квадратичная стабилизация и линейные матричные неравенства. Лемма Ляпунова и неравенство Ляпунова. Оценка сверху для критерия качества.
26. Робастная квадратичная стабилизация. Стабилизация при наличии аддитивных возмущений.
27. Стабилизация линейной стохастической системы. Совместная задача управления и оценивания. Теорема разделения.
28. Игольчатая вариация и необходимое условие сильного локального минимума. Задача быстродействия. Достаточность принципа максимума для линейных вполне управляемых систем.
29. Регулярный синтез по Болтянскому (n=2).
30. Метод динамического программирования как достаточное условие оптимальности.
31. Применение принципа оптимальности Беллмана в задаче о линейном регуляторе с квадратичным критерием качества.
32. Вариация Келли и необходимое условие оптимальности для особых экстремалей Понтрягина. Скобки Пуассона.
33.  Задача о подъеме ракеты на максимальную высоту.
34. Обобщенное необходимое условие оптимальности особых экстремалей и структура оптимального управления.
35. Двухуровневое управление сингулярно возмущенной системой.
36. Управление планированием тяжелого летательного аппарата.
37. Максиминное тестирование точности стабилизации управляемой системы.

Литература

• Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М. Наука, 1971, 1978, 1992.
• Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М. Изд-во МГУ, 2000.
• Новожилов И.В. Фракционный анализ. М. Изд-во МГУ, 1995.
• Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. М. Изд-во МГУ, 1982.
• Афанасьев В.И., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструироваеия систем управления. М. Изд-во Высшая школа, 1998.

Сборник задач по «Механике управляемых систем»

Настоящий сборник сформирован для сопровождения практических занятий по курсу "Механика управляемых систем", читаемого студентам 4-го курса отделения Механики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

В 1967 году профессор кафедры прикладной механики Я.Н. Ройтенберг начал чтение разработанного им курса "Механика управляемых движений". В 1986-89 годах профессора кафедры В.В. Александров и Н.А. Парусников модернизировали курс.

Специфика курса "Механика управляемых систем" заключается в том, что для его успешного освоения студентам необходимо активно использовать полученные ранее знания по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теоретической механике, теории вероятностей и случайных процессов, вариационного исчисления и других.

Сборник содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения. Включает в себя разделы по устойчивости, управляемости, наблюдаемости, стабилизации динамических систем, анализу стохастических систем, фильтру Калмана, принципу максимума Понтрягина и элементам прикладной теории оптимального управления движением. В сборнике имеются как относительно простые упражнения, так и задачи-исследования и теоретические вопросы. К некоторым упражнениям даны ответы или указания.

Составители сборника задач по «Механике управляемых систем» старший научный сотрудник лаборатории МОИДС О.Ю. Черкасов и научный сотрудник лаборатории управления и навигации М.Ю. Попеленский При подготовке сборника использовались как широко известные задачи теории автоматического управления и структурного анализа и линейного синтеза, так и адаптированные научные публикации и доклады конференций последних лет. Большинство задач предлагалось на семинарских занятиях по курсу "Механика управляемых систем". Ряд задач основан на научных результатах, полученных преподавателями и сотрудниками кафедры прикладной механики механико-математического факультета, лаборатории навигации и управления и лаборатории математического обеспечения имитационных динамических систем: В.В. Александров, Ю.В. Болотин, Д.И. Бугров, Н.Б. Вавилова, А.А. Голован, С.С. Лемак, А.И. Матасов, Н.А. Парусников, М.Ю. Попеленский, В.В. Тихомиров, О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев.

Вместе с учебным пособием "Оптимальное управление движением" данный сборник составляет единое целое руководство как по чтению лекций так и по проведению семинаров.

Предназначен для студентов и аспирантов, специализирующихся в области управления и оценивания динамических систем.

Здесь можно скачать разделы задачника, содержащие примеры решения задач.