Использование моделей контактных взаимодействий в математическом описании механических и биомеханических систем

13 апреля 2011 года
А.В. Влахова
(Научный консультант академик РАН И.Г. Горячева)

В работе подводятся итоги исследований, проводимых автором совместно с д.ф.-м.н., проф. И.В. Новожиловым и акад. РАН И.Г. Горячевой.

Содержание доклада включает четыре раздела:

1. Реализация связей в динамике систем с качением и задачах математического описания мягких биологических тканей связи, запрещающие проскальзывания, и первичные связи П. Дирака условия несжимаемости при описании деформирования мягких тканей
2. Приближенное моделирование в задачах железнодорожного транспорта модели движения железнодорожной колесной пары в зоне свободного хода; описание вкатывания гребня на головку рельса, оценка аварийных условий движения математические модели движения железнодорожного вагона конечной жесткости в зоне свободного хода
3. Приближенное моделирование в задачах автомобильного транспорта модели движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой
4. Приближенное моделирование работы искусственного тактильного механорецептора

В разделе 1 исследуются возможности реализации тех или иных связей при моделировании механических и биомеханических систем.

С применением "конструктивного подхода" рассматриваются способы возникновения различных связей в динамике систем, включающих кинематические пары с малыми относительными проскальзываниями. Показано, что, помимо классических неголономных (кинематических) связей, отвечающих условиям непроскальзывания элементов, при движении с малыми обобщенными скоростями в системе могут реализовываться первичные связи П. Дирака. Исследования проводятся с применением методики фракционного анализа, объединяющей методы теории размерностей и подобия и асимптотические методы теории возмущений.

Разумеется, окончательно вопрос о выборе модели для конкретных механических задач решает эксперимент. Исследования, проведенные А.Р. Сковородой и Е.М. Тиманиным, показали, что мягкие биологические ткани по характеру деформирования близки к несжимаемым средам. В связи с этим их деформирование описывается с учетом связи, определяемой условием несжимаемости.

В разделах 2, 3 проводится моделирование движения конкретных колесных систем с применением подходов, разработанных в разделе 1. Рассматриваются задачи о движении железнодорожной колесной пары, движении железнодорожного вагона конечной жесткости и движении автомобиля. Исследована задача о движении железнодорожной колесной пары в кривой. Предложены математические модели, описывающие неустойчивость поперечных движений экипажа в зоне свободного хода, а также накатывание гребня внешнего по направлению поворота колеса на головку рельса. Получены аналитические оценки условий, приводящих к накатыванию и сходу с рельсов.

Рассмотрена задача о поперечных колебаниях четырехосного грузового вагона конечной жесткости, движущегося в зоне свободного хода без потери сцепления колес с рельсами. Возможность упрощения уравнений движения связана с сильным разнесением жесткости сил крипа, возникающих при контакте колес с рельсами, и сил упругости, обусловленных конечной жесткостью конструкции вагона. Исследовано влияние конечной жесткости конструкции на поперечные колебания вагона.

Предложена математическая модель движения автомобиля по горизонтальной однородной шероховатой плоскости с малыми проскальзываниями колес. Разработана асимптотическая процедура разделения быстрых и медленных движений модели, позволяющая описывать движение автомобиля с малыми и конечными углами поворота передних колес.

В разделе 4 обсуждается круг задач механики деформируемого твердого тела, связанных с созданием искусственного тактильного механорецептора. Приведены краткие сведения о свойствах мягких биологических тканей, необходимые понятия механики сплошных сред, постановки и методы решения контактных задач, пригодных для описания взаимодействия механорецептора с мягкими тканями, и результаты численных исследований.