Применение негладких функционалов для решения задач оценивания

29 октября 2014 года
Акимов П.А., Матасов А.И.

Негладкие функционалы в задачах оценивания естественным образом возникают при использовании гарантирующего подхода. Однако есть и другие ситуации, когда применение негладких функционалов приносит пользу. Доклад посвящен одной из таких задач.

Траектории некоторых динамических систем в какие-то моменты времени могут допускать скачки ступенчатого типа. Такие системы встречаются в робототехнике, инерциальной навигации, эпидемиологии, математических моделях финансовой деятельности. Рассматриваются задачи оценивания состояния систем такого типа. Традиционный метод наименьших квадратов дает сглаженные (во времени) оценки указанных скачков, так как этот метод «избегает больших невязок». Поэтому моменты появления скачков идентифицируются весьма неточно.

В докладе рассматривается другой подход к оцениванию векторов состояния динамических систем, состоящий в решении проблемы аппроксимации со смешанными нормами, то есть проблемы, в функционал которой входят и l₁ – ,  и l₂ – нормы векторов невязок. Дело в том, что скачки в траекториях могут интерпретироваться как влияние неконтролируемых аномальных импульсов в правых частях динамических систем. Хорошо известно, что для статических систем с выбросами в измерениях эффективным алгоритмом оценивания является метод наименьших модулей. Более того, при обработке изображений соответствующие негладкие добавки к функционалу позволяют сохранить четкие края изображений. Поэтому для решения задачи оценивания слагаемые в традиционном квадратическом функционале, которые могут содержать аномальные импульсы, следует заменить на соответствующие им абсолютные значения. Предложен новый алгоритм решения возникающей здесь задачи выпуклой оптимизации, основанный на вариационно-взвешенных квадратических приближениях и сглаживающих калмановских процедурах. При помощи теории двойственности выпуклых вариационных задач для оценки качества итераций предлагаемого алгоритма построены уровни неоптимальности, что является развитием предыдущих результатов, полученных авторами для l₁ – аппроксимации. Обсуждаются особенности предложенного подхода и его модификации.