Оптимальные траектории движения твердого тела при наличии сухого и вязкого трения

27 апреля 2016 года
Зароднюк Алёна Владимировна
(аспирантка 2-го года обучения, научный руководитель: к.ф.-м.н. О.Ю. Черкасов)

Работа состоит из нескольких частей. В первой части будет рассказано о том, что было сделано за все годы исследований, проведенных автором по данной теме. В этой части рассматривается задача о движении материальной точки массы m в вертикальной плоскости в однородном поле сил тяжести, под действием силы вязкого трения довольно общего вида со свободным правым концом траектории, а так же задача, в которой вертикальная координата точки в конечный момент времени фиксирована.  

Во второй части рассматривается схожая задача при действии силы вязкого трения и постоянной разгоняющей силы, направленной вдоль вектора скорости. Считается, что сила сопротивления пропорциональна некоторой степени модуля скорости точки. Ставится задача максимизации дальности за заданное время, в предположении, что зависимость максимальной дальности от времени носит монотонный характер. Задача оптимального управления сводится к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, проводится качественный анализ фазового портрета системы при изменении параметра, соответствующего постоянной разгоняющей силе. Доказывается, что экстремальные траектории, удовлетворяющие краевой задаче  являются оптимальными. Устанавливаются характерные свойства таких траекторий, которые подтверждаются численным интегрированием. Наряду с этой задачей рассматривается движение материальной точки под действием сил сухого и линейного вязкого трения. Для случая сухого трения удается доказать, что реакция связи вдоль экстремальной траектории будет всегда положительна.

Третья часть работы посвящена исследованию знака реакции опорной кривой в задаче максимизации дальности движения материальной точки при отсутствии разгоняющей силы. В условиях данной постановки удается получить область начальных условий, зависящую от параметра, для которой знак реакции опоры остаётся положительным вдоль всей траектории. Для остальной области установлено, что количество переключений будет не более одного, причем переключение возможно только со знака минус на плюс.