Метод неопределенных частот

28 июня 2017 года
Буданов Владимир Михайлович
(доцент кафедры прикладной механики и управления, к.ф.-м.н.)

Предлагается метод аналитического построения решений нелинейных динамических систем, имеющих характер колебаний. Особенностью метода является отсутствие априорных предположений о частотах возникающих колебаний, которые определяются в ходе последовательных приближений. Метод работоспособен без предположений о наличии малого параметра, что демонстрируется анализом конкретных динамических систем.

Современные аналитические подходы к исследованию колебаний в нелинейных системах базируются на асимптотических методах, предполагающих близость нелинейной системы к некоторой линейной, что выражается наличием малого параметра при нелинейных членах. В настоящей работе предлагается метод, в котором объединены метод последовательных приближений и метод усреднения, и который наследует положительные свойства обоих: сходимость без предположений о малости параметра и приведение исходных уравнений к более простым уравнениям для медленно меняющихся переменных.

С использованием этого метода построены решения для нескольких классических задач нелинейной динамики:

• математического маятника при больших значениях амплитуды колебаний,
• уравнения Ван-дер-Поля при значениях параметра при нелинейном члене вплоть до единичного значения,
• системы связанных линейного и нелинейного маятников,
• уравнения Матье в районе первой и второй резонансных зон.

Предложенный метод не требует наличия малого параметра в исследуемых системах, отличается относительной простотой построения высших приближений, работоспособностью в существенно нелинейных ситуациях и возможностью обобщения на многомерный случай.