О брахистохронных движениях твердых тел с различными ограничениями реакции связи

20 марта 2024 года
А.Обрадович
(Белградский университет, Сербия)

В первой части рассматривается движение твердого тела за минимальное время между двумя заданными положениями в вертикальной плоскости при заданном значении начальной механической энергии. Задача формулируется и решается в замкнутой форме, что является вкладом данной работы, с учетом нелинейных дифференциальных уравнений двухточечной краевой задачи принципа максимума Понтрягина. Показано, что полученное таким образом решение также представляет собой глобальное минимальное время движения. В духе классической задачи о брахистохроне частицы реализация этого движения также достигается исключительно за счет идеальных механических связей, но без действия активных сил. В аналитическом виде получены параметрические уравнения движущейся и неподвижной центроид, а также законы изменения тангенциальной и нормальной составляющих реакции связи, возникающей при качении без скольжения. На основе этих законов получена зависимость коэффициента трения скольжения от времени. Максимальное значение этого коэффициента должно быть меньше кулоновского коэффициента трения для случая реальной шероховатой поверхности. Если это не выполняется, формулируется соответствующая задача оптимального управления, решение которой дает постоянное значение коэффициента трения, равное коэффициенту Кулона, на некоторых интервалах времени движения.

Во второй части рассматривается процедура определения брахистохронного движения саней Чаплыгина в вертикальной плоскости, где такое лезвие, что препятствует движению точки контакта только в одном направлении. Задается положение центра масс саней и ориентация в конечных положениях, а также начальное значение механической энергии. Дана простейшая постановка соответствующей задачи оптимального управления, которая решается с применением принципа максимума Понтрягина. Для ряда случаев найдены аналитические решения дифференциальных уравнений двухточечной краевой задачи принципа максимума. Для остальных случаев численное интегрирование проводилось методом стрельбы, где была дана оценка недостающих терминальных условий и показано, что полученное решение представляет собой глобальное минимальное время для брахистохронного движения. Представлен метод брахистохронного движения с помощью одиночной голономной и одной односторонней неголономной механической связи.

В третьей части представлены ранее опубликованные доклады автора, где брахистохронное движение реализуется активными управляющими силами, при этом реакции неголономных связей ограничены, в соответствии с законами трения Кулона.