Точные решения некоторых задач динамики твердого тела

20 ноября 2024 года
А.С.Кулешов

В механике никогда не ослабевал интерес к интегрируемым задачам. Нахождение новых интегрируемых случаев дифференциальных уравнений движения различных механических систем, а также нахождение решений в квадратурах для этих случаев - одна из главных задач теоретической механики. Проблема точного интегрирования дифференциальных уравнений движения имеет несколько аспектов. Геометрический аспект связан с качественным исследованием регулярного поведения траекторий интегрируемых систем. Примером служит известная геометрическая теорема Лиувилля о расслоении фазового пространства вполне интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантные торы с условно периодическими движениями. Конструктивный аспект связан с отысканием условий, при которых можно указать алгоритм явного решения дифференциальных уравнений при помощи квадратур. В качестве примеров здесь можно указать теорему Эйлера Якоби об интегрируемости системы n уравнений, допускающих n-2 независимых первых интегралов и инвариантную меру, и теорему Ли о системах с разрешимой группой симметрий. Эти алгоритмы дают принципиальную возможность отыскания полного решения системы дифференциальных уравнений движения, однако их реализация упирается в довольно сложные проблемы (например, в явное решение систем алгебраических уравнений). В связи с этим возникает еще один важный аспект рассматриваемого круга вопросов - явное решение систем дифференциальных уравнений. Для определјнных классов дифференциальных уравнений, опираясь на их специфическую структуру, можно использовать специальные методы. Примером здесь служит широкий и важный, с точки зрения приложений, класс линейных дифференциальных уравнений. Исследование многих задач механики и математической физики сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Если при помощи замены независимой переменной удается привести соответствующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка к уравнению с коэффициентами, имеющими вид рациональных функций независимой переменной, то для такого уравнения необходимые и достаточные условия разрешимости в квадратурах определяются с помощью так называемого алгоритма Ковачича. В 1986 году американский математик Дж. Ковачич представил алгоритм, позволяющий найти так называемые лиувиллевы решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с рациональными коэффициентами. Если у дифференциального уравнения нет лиувиллевых решений, то алгоритм также позволяет установить этот факт.

В работе с помощью алгоритма Ковачича изучаются вопросы о существовании лиувиллевых решений в задаче о качении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и абсолютно шероховатой сфере. Исследован вопрос о существовании лиувиллевых решений в задаче о качении тяжелого однородного шара по неподвижной абсолютно шероховатой поверхности вращения. Также исследован вопрос о существовании лиувиллевых решений в интегрируемом случае Гесса задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.