Задачи оптимизации управляемого спуска

21 июня 2017 года
Зароднюк Алена Владимировна
(аспирант 3 г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. О. Ю. Черкасов, рецензенты: д.ф.-м.н. В. В. Александров, аспирант 2 г. о. Е. Селиверстова)

В работе рассматривается движение материальной точки в однородном поле силы тяжести, при наличии сил вязкого и сухого трения и разгоняющей силы. Движение происходит в вертикальной плоскости. Исследуется ряд задач максимизации горизонтальной координаты за фиксированное время, и взаимосвязанные с ними задачи о брахистохроне. В качестве управляющего воздействия принимается сила реакции опорной кривой, вдоль которой происходит движение.

Во всех примерах задач оптимизации управляемого спуска, рассмотренных в данной работе, удается построить синтез экстремального управления.

В задачах с вязким сопротивлением проводится редукция к системе с нелинейно входящим управлением, а затем, с помощью принципа максимума Понтрягина, задача оптимального управления сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений для исходных переменных и управления. Структуру оптимального синтеза и поведение особых оптимальных траекторий в таком случае можно исследовать с помощью методов теории динамических систем. Качественный анализ экстремальных траекторий позволяет получить целостное представление о них, выявить и обосновать характерные свойства, которые другими авторами были сформулированы в виде гипотез или получены как результата численного моделирования.

Показано, что в случае вязкого сопротивления динамические системы, к краевой задаче для которых сведены рассмотренные задачи оптимального управления, имеют стационарное решение типа седла, отвечающее наивыгоднейшему углу спуска. Тип особой точки не меняется при использовании различных моделей сопротивления среды, а также при учете разгоняющей силы. Наличие седловой точки является иллюстрацией разноустойчивости исходной и сопряженной систем, и является качественным и «грубым», робастным свойством краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления, если траектория проводит избыток времени в ограниченной области подпространства состояний. Иначе говоря, в случае вязкого сопротивления система является структурно устойчивой. При незначительных изменениях системы ее фазовые портреты оказываются топологически эквивалентными.

Установлено, что при больших временах процесса движение происходит в окрестности этой седловой точки, которая представляет собой асимптотическое магистральное решение. Тип этого стационарного решения сохраняется при изменении не только краевых условий, но и параметров исходной динамической системы. При больших временах процесса экстремальная траектория может быть разделена на три участка. Первый соответствует быстрому выходу в окрестность седловой точки, второй, относительно долгий, представляет собой «дрейф» точки в фазовой плоскости в окрестности седла, и третий отвечает быстрому выходу из окрестности седла на краевое условие.

В случае одновременного влияния вязкого и сухого трения найдено особое управление, выражающееся через исходные переменные задачи. Установлена область переменных, для которых модуль реакции опоры раскрывается однозначно. При одновременном действии сухого трения и вязкого сопротивления в системе сохраняется магистральное решение.

Исследована также задача при наличии только сухого трения. Доказано, что модуль реакции опоры раскрывается однозначно. При этом структура фазового портрета меняется радикально, и седловая точка, отвечающая асимптотически магистральному решению, исчезает при отсутствии вязкого сопротивления. При избытке времени траектория в фазовой плоскости может сколь угодно удаляться от начала координат и стационарной магистрали в этой задаче не существует.