Устойчивость и стабилизация некоторых периодических систем

28 февраля 2024 года
Давудова Лавия Феликсовна
(аспирант 4-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Буданов В.М., рецензенты д.ф.-м.н. Морозов В.М., асп. 3 г. о. Клюев А.)

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводит ряд задач механики. Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению этих уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил. В этой задаче дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня представляет собой известное уравнение Хилла. Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье, введенное в 1873 г. в связи с исследованием колебаний эллиптической мембраны.

 Для исследования уравнения Матье был предложен метод, который объединяет метод усреднения и метод последовательных приближений. Были построены четвертое приближения для второй резонансной области и третье приближения для третьей резонансной области уравнения Матье, а также второе приближение для уравнения математического маятника, которые описывают поведение решений как внутри резонансной области, так и снаружи. Показано, что для уравнения Матье вблизи границ, но вне резонансных зон, имеет место движение типа биений, а внутри границ - экспоненциальный рост. Дано описание поведения решений вне резонансных зон в аналитическом виде, в том числе оценка периода биений, что ранее не встречалось в литературе. Приведено сравнение полученных уравнений границ устойчивости с известными результатами, которое показывает, что, несмотря на не изученную сходимость данного метода, он дает формулы, которые в точности совпадают с известными в литературе.

В докладе будет показано исследование уравнения математического маятника в упрощенной форме, полученной разложением синуса в ряд Тейлора до 3-го порядка, с помощью вышеуказанного метода. От исследования уравнения Матье данная работа отличается тем, что в уравнении присутствует нелинейный член, который влияет на характер движений и  исключает экспоненциальный рост. Показано сведение нелинейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами к системе двух нелинейных уравнений первого порядка, построено первое и второе приближения для этой системы, получены стационарные решения, показан график стационарных резонансных амплитуд и построены графики огибающих по первому и второму приближению на решение исходного уравнения и графики наложения первого и второго приближений на результат численного интегрирования исходного уравнения. Дано аналитическое описание колебательных режимов типа биений, которое ранее не встречалось в литературе.

Также в докладе будет рассматривается уравнение движения спутника, у которого есть положение равновесия. Цель- стабилизировать это положение равновесия за счет магнитного момента, посредством построения управления в виде обратной связи, обеспечивающим асимптотическую устойчивость положения равновесия. Преимущества- вместо одного нестационарного по управлению уравнения, рассматривается два, но стационарных уравнения, в которых можно выбирать управление без всякого численного счета. Было найдено управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость положения равновесия. Найдены условия на коэффициенты при управлении для устойчивости системы. А также построены графики угла поворота спутника относительно орбитальной системы координат как функции времени.