Сравнение модифицированных моделей Ходжкина-Хаксли второго и третьего порядков

26 марта 2025 года
Цао Нин
(аспирант 4-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Бугров Д.И., рецензенты Бугрий Г.С., асп. 3 г. о.Малых Е.В.)

Рассматриваются модель афферентного первичного нейрона (АПН) в виде уравнений Ходжкина--Хаксли в модификации Александрова-Сото третьего порядка и две упрощенных модели второго порядка. Сравниваются стационарные решения этих моделей, периодические решения, области притяжения стационарных решений, интервалы бистабильности. Сделан вывод, что упрощенная модель с функциональным представлением параметра инактивации калиевого канала лучше приближает полную модель третьего порядка.       

В случае, когда модель АПН является бистабильной, можно рассмотреть задачу перехода между областями притяжения этих устойчивых решений под действием малого экзогенного воздействия (например, гальванической вестибулярной стимуляции) в течение ограниченного времени. Решение данной задачи связано с построением области достижимости линеаризованной системы. Для построения области достижимости линеаризованной системы в окрестности стационарной точки используется метод Булгакова о накоплении возмущений и предлагается новый аналитический метод решения этой задачи. Сравниваются области достижимости, полученные с применением аналитического и численного методов. Видно, что построенные области почти совпадают друг с другом. Оба метода могут использоваться для построения границы области достижимости. А для построения области достижимости линеаризованной системы в окрестности периодического решения используется метод Булгакова с теоремой Флоке. Проведено сравнение областей достижимости для модели АПН третьего порядка и двух упрощенных модификаций.       

Любая математическая модель является лишь приближением в той или иной степени к реальному изучаемому объекту. Модель АПН в виде нелинейных систем ОДУ хорошо аппроксимируют экспериментальные данные, однако для решения задачи перехода численным методом (например, методом Рунге-Кутта) в реальном времени расчет эволюции состояния системы под влиянием экзогенного воздействия является относительно вычислительно затратной задачей. Предлагается нелинейная авторегрессионная модель типа Вольтерра, которая представляет собой алгебраическое уравнение, а параметры могут быть рассчитаны и сохранены заранее. Она может хорошо аппроксимировать экспериментальные данные.