Математическое моделирование

Математическая модель в механике - это замкнутая система математических соотношений, позволяющая с приемлемой точностью изучать интересующие исследователя особенности поведения рассматриваемого объекта.

Математическое моделирование в механике управляемых систем имеет ряд особенностей:

• Изучаемые в механике управляемого движения объекты чрезвычайно разнообразны. Автомобиль, гироскопический стабилизатор, шагающий робот, имитатор космического полета и т.п. слагаются из различных жестких конструктивных элементов, устройств, датчиков, двигателей. С теоретико-механической точки зрения все эти объекты могут рассматриваться как системы, состоящие из большого числа взаимодействующих твердых тел. Попытка составить математическую модель такого объекта при помощи классических методов теоретической механики, например в форме уравнений Лагранжа, обычно приводит к невообразимо громоздким уравнениям, насчитывающим сотни и тысячи слагаемых. Возникает потребность в приближенном моделировании, которое для четко оговоренного класса движения описывает нужные явления с приемлемой точностью.
• Для систем, изучаемых механикой управляемых движений, характерны сильные затухания высокочастотных собственных составляющих движения. Приближенное моделирование таких систем тяготеет к построению разложений А. Пуанкаре и погранслойным методам А.Н. Тихонова - А.Б. Васильевой.

Кафедра имеет значительные достижения в развитии методов математического моделирования механических управляемых систем.

Разработана и внедрена в практику методика фракционного анализа (И.В. Новожилов). Методика используется для составления приближенных математических моделей, которые описывают порознь составляющие движения, развивающиеся в различных временных или пространственных масштабах. Фракционный анализ конкретной системы выполняется в два этапа. На первом используются методы теории размерности для нормализации уравнений и введения в них малых параметров, отвечающих выделяемому для исследования классу движения. На втором применяются асимптотические методы, при помощи которых строится приближенная математическая модель.

Получены оценки погрешности асимптотических приближений для решений регулярно и сингулярно возмущенных по малому параметру систем и оценки временных интервалов, на которых эти погрешности гарантируются (Р.П. Кузьмина). Эти оценки использованы при исследовании конкретных динамических систем (А.В. Влахова).

Предложена методика составления приближенной математической модели медленных составляющих движения для близких к консервативным механических систем с сильно разнесенными собственными частотами (А.В. Влахова, И.В. Новожилов).

Разработана методика исследования динамических систем общего вида с разрывными правыми частями. В отличие от известных подходов, математическая модель скользящих движений и условия их реализации определяются при помощи методов теории сингулярных возмущений (А.В. Влахова, И.В. Новожилов).

Для регулярно и сингулярно возмущенных по малому параметру систем предложены методики безытерационных уточнений по малому параметру. При этом порядок получаемых приближенных моделей не превосходит порядка исходной системы (А.В. Влахова, И.В. Новожилов).

В области теории гироскопических систем научный коллектив кафедры прикладной механики и управления - один из ведущих в России. Труды Б.В. Булгакова и А.Ю. Ишлинского стали в гироскопии основополагающими. Исследования были продолжены Я.Н. Ройтенбергом, И.В. Новожиловым, Е.А. Девяниным, А.И. Кобриным, Ю.Г. Мартыненко, В.И. Борзовым, В.В. Тихомировым, Н.П. Степаненко.

При помощи методов фракционного анализа проведено обоснование корректности ряда классических моделей механики: прецессионной модели гироскопии, абсолютно твердого тела, голономной и неголономной связей (И.В. Новожилов).

Потребности практики привели А.Ю. Ишлинского к необходимости сформулировать новую для классической механики модель - твердое тело, вращающееся на струне. В отличие от задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, здесь отсутствуют случаи интегрируемости, как в случаях Эйлера, Лагранжа, Ковалевской. А.Ю. Ишлинским совместно с учениками исследованы бифуркации стационарных движений и их устойчивость.

В теории полета крылатых летательных аппаратов В.И. Борзовым и И.В. Новожиловым при помощи методов фракционного анализа построены приближенные математические модели динамики полета, описывающие быстрые и медленные составляющие движения, проведена оценка погрешности приближений.

Предложена модель взаимодействия деформируемого колеса с дорогой, обобщающая известные модели Картера, Рокара, Фромма, Келдыша. Построены приближенные математические модели движения автомобиля для разных классов его движения (И.В. Новожилов, П.А. Кручинин, М.Х. Магомедов, И.С. Павлов). Получены математические модели поперечных движений типа "кинематических виляний" для железнодорожного вагона и поезда, в том числе учитывающие взаимодействие гребня колесной пары с головкой рельса (И.В. Новожилов, И.А. Копылов, А.В. Влахова, В.Н. Филиппов).

Среди работ по изучению колебаний в подвеске автомобиля отметим исследование параметрического возбуждения шимми управляемых колес, моделирование динамики активной подвески и др. (С.И. Злочевский, А.Д. Дербаремдикер, П.А. Кручинин). Проведено моделирование условий возникновения паразитных колебаний в антиблокировочной системе колесных машин и предложены алгоритмы их подавления (И.В. Новожилов, П.А. Кручинин, М.Х. Магомедов). Полученные результаты использованы при разработке антиблокировочной системы НПФ САУНО в рамках договора с Корейским Электротехническим институтом (г. Пусан, Ю-Корея).

Проведено математическое моделирование многозвенных управляемых систем, таких как шагающие аппараты и многостепенные динамические стенды. Разработаны приближенные модели таких устройств, раздельно описывающие медленные режимы перемещения в силу назначения системы и быстрые режимы стабилизации этих перемещений (Е.А. Девянин, А.М. Формальский, И.В. Новожилов, Ю.В. Болотин, И.В. Бардушкина).

Энергозатраты четырехногого и шестиногого движения в зависимости от аллюра и кинематической схемы конечностей исследованы И.В. Новожиловым, М.Ф. Зацепиным, А.В. Паншиной. Проведено исследование задачи минимизации биомеханических энергозатрат (Ю.В. Болотин). Решена задача оптимизации энергозатрат двуногого аппарата, построены бифуркационные диаграммы типа походки в зависимости от безразмерных параметров - числа Фруда и относительных масс конечностей. Построена теория динамически устойчивых походок статически неустойчивых шагающих роботов (Ю.В. Болотин).

Новым для кафедры является научное направление, связанное с созданием и исследованием математических моделей биомеханических систем. Проводится обширный цикл исследований по моделированию механорецепторов ускорения человека. Исследования ориентированы на имитацию ощущений, испытываемых пилотами и космонавтами в реальном полете. Работы выполняются совместно с Центром подготовки космонавтов (В.В. Александров, Т.Г. Астахова, Н.В. Куликовская, Г.В. Бут, Ю.О. Мамасуева, Н.Э. Шуленина).

Совместно с сотрудниками детской психоневрологической больницы №18 проводятся работы по математическому моделированию движений больных детским церебральным параличом. Проведено математическое моделирование сложных сгибательно - разгибательных движений при изменении вертикальной позы человека. Показано, что таким движениям отвечают малые изменения длин двусуставных мышц скелетного многозвенника - своего рода инвариантность длин. При этом движения реализуются весьма простыми управлениями в рамках модели А.Г. Фельдмана (И.В. Новожилов, А.М. Журавлев, П.А. Кручинин, И.А. Копылов, П.П. Демин, А.А. Гришин).

Значительные успехи достигнуты в математическом моделировании крупномасштабных упорядоченных вихрей, так называемых когерентных структур. К ним относятся, например, "облачные улицы" в атмосфере, "циркуляция Ленгмюра" в морях и озерах, "периодические крупные вихри" в струях за реактивными двигателями и др. Построенные модели тепломассопереноса в турбулентных потоках используют методы фракционирования составляющих движения (А.Е. Орданович, Н.С. Блохина, Л.А. Михайлова).

Разработаны методы построения математических моделей систем типа "тело - трос", позволяющие рассчитать конфигурацию, крупномасштабные движения и малые колебания широко распространенных тросовых устройств (привязные летательные аппараты, буксируемые системы, заякоренные буровые платформы и др.). Особенность таких систем состоит в том, что, кроме уравнений, описывающих движение тела в сопротивляющейся среде, математические модели включают уравнения в частных производных, описывающие трос. Особое внимание уделялось тросовым системам, в которых возникает сминание троса и удары при его выпрямлении, а также образование "петель" (А.Е. Орданович, М.В. Лось).

Решен ряд задач об устойчивости стационарных решений движений спутников, находящихся под действием гравитационных, магнитных и аэродинамических моментов. Исследована устойчивость движений сложных механических систем, состоящих из твердых и деформируемых тел, таких как космические аппараты и спутники (В.М. Морозов).